ベクトル

スカラー乗算

ベクトル $\bold{a}$ にスカラー $s$ を乗じることは、ベクトル $\bold{a}$ の各成分にスカラー $s$ を乗じること。

s\bold{a} = (sa_x, sa_y, sa_z)

スケール係数はそれぞれの軸に沿って変えることができる。（非一様スケーリング）

スケーリングベクトル $\bold{s}$ とベクトル $\bold{a}$ のコンポーネントごとの積はアダマール積と呼ばれ、演算子 $\otimes$ で表される。

\bold{s} \otimes \bold{a} = (s_xa_x, s_ya_y, s_za_z)

スケーリングベクトル $s$ は、3x3対角スケーリング行列 $\bold{S}$ をコンパクトに表したもの。

\bold{S} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & s_z \end{bmatrix}

この行列をベクトル $\bold{a}$ に右から掛けることで、同様の結果が得られる。

\begin{align*} \bold{a}\bold{S} &= (a_x, a_y, a_z) \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & s_z \end{bmatrix} \\ &= (s_xa_x, s_ya_y, s_za_z) \\ &= \bold{s} \otimes \bold{a} \end{align*}

ベクトルがある表面に垂直であるとき、その表面に対する法線であるという。

$\bold{u}$ が単位ベクトルのとき、 $|\bold{u}| = 1$ であるため、

\bold{a} \cdot \bold{u} = |\bold{a}||\bold{u}|\cos\theta = |\bold{a}|\cos\theta

これは、 $\bold{u}$ の方向によって定義される無限直線上のベクトル $\bold{a}$ への射影の長さを表す。

2つのベクトルが同一直線上にあるとき、2つのベクトルは共線であるという。

2つのベクトル間の角度が0°のとき、 $\cos\theta$ は $1$ になるので、ドット積は次のようになる。

\bold{a} \cdot \bold{b} = |\bold{a}||\bold{b}|

2つのベクトル間の角度が180°のとき、 $\cos\theta$ は $-1$ になるので、ドット積は次のようになる。

\bold{a} \cdot \bold{b} = -|\bold{a}||\bold{b}|

2つのベクトル間の角度が90°のとき、 $\cos\theta$ は $0$ になるので、ドット積は次のようになる。

\bold{a} \cdot \bold{b} = 0

ドット積の符号は、2つのベクトルの間の角度によって決まる。

2つのベクトル間の角度が90°以下のとき、 $\cos\theta$ は正の値になるので、ドット積は正の値になる。

\bold{a} \cdot \bold{b} > 0

2つのベクトル間の角度が90°以上のとき、 $\cos\theta$ は負の値になるので、ドット積は負の値になる。

\bold{a} \cdot \bold{b} < 0

2つのベクトルを使えば、平面を定義することができる。

3D空間において、平面より上または下にある点Pの高さ $h$ は、次のように求められる。

h = (\bold{P - Q}) \cdot \bold{n}

これは、 $\bold{n}$ によって定義される直線上にある $\bold{P - Q}$ の射影である。

2つのベクトルのクロス積は、それらのベクトルに垂直なベクトルを生成する。

\begin{align*} \bold{a} \times \bold{b} &= (a_yb_z - a_zb_y, a_zb_x - a_xb_z, a_xb_y - a_yb_x) \\ &= (a_yb_z - a_zb_y)\bold{i} + (a_zb_x - a_xb_z)\bold{j} + (a_xb_y - a_yb_x)\bold{k} \end{align*}

2つのベクトル $\bold{a}$ と $\bold{b}$ の間の角度を $\theta$ とすると、 $\sin\theta$ は次のようになる。

\sin\theta = \frac{|\bold{a} \times \bold{b}|}{|\bold{a}||\bold{b}|}

これを変形すると、クロス積の大きさは次のようになる。

|\bold{a} \times \bold{b}| = |\bold{a}||\bold{b}|\sin\theta

これは、辺が $\bold{a}$ と $\bold{b}$ になる平行四辺形の面積である。

三角形の面積が平行四辺形の半分であることから、位置ベクトル $\bold{V}_1$ 、 $\bold{V}_2$ 、 $\bold{V}_3$ を持つ3つの頂点を持つ三角形の面積は次のようになる。

S_{triangle} = \frac{1}{2} |(\bold{V}_2 - \bold{V}_1) \times (\bold{V}_3 - \bold{V}_1)|

右手座標系では右手の法則、左手座標系では左手の法則に従って、クロス積の方向を決定することができる。

右手の法則：右手の親指を $\bold{a}$ に、人差し指を $\bold{b}$ に向けると、中指の方向が $\bold{a} \times \bold{b}$ の方向になる
左手の法則：左手の親指を $\bold{a}$ に、人差し指を $\bold{b}$ に向けると、中指の方向が $\bold{a} \times \bold{b}$ の方向になる

2つの既知の座標点の間の位置を見つけるために、線形補間を使用することができる。

lerp(\bold{a}, \bold{b}, t) = (1 - t)\bold{a} + t\bold{b}

ここで、 $t$ は0から1の間の値である。

$lerp(\bold{a}, \bold{b}, t)$ は、点 $\bold{a}$ と点 $\bold{b}$ への線分に沿って $t$ %の位置にある点を表す。